射影几何好的教材 射影几何的发现

雨漫天

分享人:雨漫天

2018-07-11 | 阅读:手机版

   
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射影几何是数学中的一个分支,它是关于几何图形经过投影变换后,仍然不会变化的几何性质的研究。与基本几何相比,射影几何有投影后不变的独特性质,也正是这样的性质,射影几何能够更容易地与其他几何系统互相联系。通过这样的密切联系,可以使用射影几何处理一些度量问题。

基于建筑学的发展和绘画雕塑的需要,射影几何的发展历史可谓十分悠久,早在古希腊时期,欧几里得就有一些关于透视的发现。在透视中,两条平行轨道在视线远处将会相交于一点,这种两条平行直线在无穷远处相交的点在射影几何中被称为无穷远点。

为什么两条平行直线会在无穷远处相交呢?我们平常所接触到的几何是在欧几里得几何(也被称为欧氏几何)的范畴下阐述的。几何中的所有图形经过位移或旋转变换后,性质不会发生变化,平行线会一直平行永不相交,这样的说法也是在欧氏几何的范畴中成立的。可以说,射影几何的范畴比欧式几何小得多,它仅仅是关于投影变换后不变的几何研究。

射影几何可以通过仿射平面加上无穷远处的一条线进行建模,并将这条线看作是“一般”。如果以解析几何做出射影几何的代数模型,将会用到齐次坐标。由于射影几何所包含的公理最少,可以将其视为仿射几何与欧式几何的基础,从范围而言,射影几何<仿射几何<欧式几何。

15世纪时,意大利文艺复兴早期著名工程师布鲁内莱斯基开始对透视的几何结构进行研究;16世纪末17世纪处,无穷远点的概念被独立提出,同一时期,法国数学家笛沙格概括了消失点的用途并纳入无穷远处的情形,发展出了构建透视图的另一种方法,开始了对圆锥曲线的研究,使得欧式几何中平行线在任何情况下都平行的特性,成为其他几何系统包括射影几何中的特例。这一研究被法国数学家帕斯卡发现并进一步将其公式化,发展成为了帕斯卡定理。

射影几何的基础论述直到1822年才被法国数学家吉恩-维克托·彭赛列具体描述,彭赛列也因此被称为射影几何的创始人之一。彭赛列发现了物体的不同类型的射影性质,并建立了射影性质与度量性质之间的关系。

后来,射影几何更多地被数学家们作为其他研究的基础,而较少有关于射影几何本身的研究。

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